球的表面积与体积的计算公式是什么？
S表=∫[0,π]2π(R^2)sinθdθ=2π(R^2)∫[0,π]sinθdθ用一个平面去截一个球体积公式:，截面是圆。球的截面有以下性质：
球的表面积公式 球的表面积公式什么时候学的
球的表面积公式 球的表面积公式什么时候学的
常见计算方法：1 球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
球体表面积公式是什么 球体表面积是怎么计算的
体积公式：V=4/3∏R^31、球体表面积是指球面所围成的几何体的面积，它包括球面和球面所围成的空间，球体表面积的计算公式为S=4πr2=πD2，该公式可以利用求体积求导来计算。
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积2、说明：r是球的半径，π为圆周率，约等于3.14。举例：设球的半径为3cm，则球体的表面积S=4πr^2=4x3.14x3^2=113.0让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。求球的表面积。4cm2。
球的表面积公式是怎样推导出来的
的球的表面积计算公式: 球的表面积=4πr^2， r为球半径 ,公式.将圆球切成无数个小圆环，圆环的宽度为Rdθ(弧微元),长度为圆的周长2πRsinθ
空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做球，球体是一个连续曲面的立体图形，由球面围成的几何体称为球体。面积微元这样，微元以三角形、梯形、圆台等方式用合法公式推导，我们就不会再犯低级的主观错误。:
dS=2πRsinθ(Rdθ)=2π(R^2)sinθdθ
积分得:
=-2π(R^2)cosθ|[0,π]
=4πR^2
球的体积和表面积的公式是什么?
去掉二级无穷小, dS=ydx S=∫ydx球的表面积 S=4πR的平方
球的体积 V=4/3πR的立方
R为球的半径
“经线和赤道把球面分成许多个角形”这里有问题，一旦分得很细的时候，三角形萎缩成线，那么面积微元 dS = 2πRRdθ，积分区间为(0,π) 则 S =曲线长度dL=√(dx^2+dy^2)。L=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx 2(πR)^2，看上去很合理，其实只要注意到“两极地区”被无数次夸大——相当于使用很细的圆环构造球形，两级地区重叠多次，并不是球的面积了....
关键：积分不能有重叠计算。
..................补充.................
你得到的结果是半个球体。如果是使用三角形面积公式得到面积微分元dS，那么就存在一个问题：球面空间三角形面积公式不是平直空间那个二分之一底乘高了。
取“纬度线”累积处理，每个“纬度线”面积微元dS = 2πRcosθRdθ，积分区间θ = (-π,+π)。
S = 2πR^2sinθ|(-π,+π) = 4πR^2
半径是r的球的体积计算公式是：v=（4/3）πr^3，表面积计算公式是：s=4πr^2
S=4(派)R^2
V=4/3(派)R^3
V=3/4Pir^3
S=4Pir^2
^表示乘方
Vo=3/4Pir把微元面积当圆台处理。圆台的侧面积公式=（上周长+下周长）/2 X 母线长，这母线长就是弧元长ds。得来全不费功夫，总是找到理论根据了哈。下面是正式的圆台公式：^3
So=4＊pi＊r^2
怎么用微积分证明球的表面积和体积公式？
体积是∫(-r→r)πy^2dx=∫(-r→r)π(r^2-x^2)dx=πr^2x|(-r→r)-1/3πx^3|(-r→r)=2πr^3-2/3πr^3=4/3πr^3圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
的球的体积计算公式: V球=(4/3)πr^3, r为球半径 ,公式.表面积微元 dS=π(y+y+dy)√(dx^2+dy^2)=π(2y+dy)√(dx^2+dy^2)
体积的微元 dV=πdx/3(y^2+y(y+dy)+(y+dy)^2) =π/3(3y^2+3ydy+dy^2)dx
舍掉二阶无穷小项，有：
体积 dV=πy^2 dx，表面积 dS=2πy √(dx^2+dy^2）
所有的谜团都完美解决，也掌握微元的推导方法，对微元计算不可凭想象胡猜。那篇文章总算点到要点了，圆台侧面积公式是关键。圆台的侧面积公式=（上半径+下半径）X π X 母线长。母线长就是积分中的弧元长， 这应该满意了吧。这个问题就算解决了，用积分解决问题的水平大大提高。
五、求微元的方法
我们求积分，必须先求微元，如果球表面积的微元用周长乘以高来积分，就犯了荒唐错误，而有时某情况正确，恰是碰巧如球体积，所以，从这个可笑中是必须吸取瞎猜的教训，要掌握好微元的正确推导方法。
如积分求曲线与X轴围成的面积，当然可以直接写成积分S=∫ydx，但我们仍然用微元推导，微元是个“直角梯形”：下底y,上底y+dy,高dx ，则微元:
dS=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
再如，曲线长度的微元就是直角三角形的斜边，符合勾股定理，
球的截面微元是个圆台， 圆台的体积v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
表面积微元是圆元的侧面积， 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面积微元 dS=2πy √(dx^2+dy^2）。
S=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx
注：有网友问 √(dx^2+dy^2)这是不是二阶无穷小？ 答：不是，平方再开方，是一阶无穷小了。多总结，悟吧。这上面一大段是我悟出的，书上也没有。
方法尚有很多，这里只能抛砖引玉。
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设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R球的表面积计算公式:球的表面积=4πr^2（r为球半径 ）(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
设半径为r，
所以表面积是∫(-r→r)2πy√(1+y'^2)dx=∫(-r→r)2π√(r^2-x^2)√(1+(1/2(-2x)/√(r^2-x^2))^2)dx=∫(-r→r)2πrdx=2πrx|(-r→r)=4πr^2
球体积、表面积公式是什么？
因此，球体的体积公式为：V=4(PiR^3)/3将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3
球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S=4pi(R^2) S 表面积 pi 圆周率 R圆直径 ^2 平【球体的性质】方S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR
球的体积和表面积公式
球体积、表面积公式是什么？
。因此一个整球的体积为4/3πR^3将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3
用此方法的原理是祖堩原理，具体内容是：夹在两个平行平面的几何体，用球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积多边形内切球球心是多边形一切二面角平分面的交点。S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR
球体的体积和表面积公式及推导过程如下：
将一个底面半径R高为R的圆柱中心挖去一个等底等高的圆椎。剩下的部分与一个半球用平面去割时处处面积相等。等出它们体积相等的结论。而那个被挖体的体积好求。就是半球体积了。V＝2/3πR^3
球是圆旋转形成的。圆的面积是S=πR^2，则球是它的积分，可求相应的球的体积公式是V=4/3πR^3
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR
球的表面积与体积的计算公式是什么？
即得S=4(pi)(R^2)用一个平面去截一个球，截面是圆。球的截面有以下性质：
1体积：有dV=2(2(pi)(R^2-x^2)) 球心和截面圆心的连线垂直于截面。
2 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：r^2=R^2-d^2
圆台外接球的表面积公式
球体积的微元 dV=πy^2 圆台侧面积s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)dx。V=π∫y^2dx圆台外接球的表面积公式：R=(h^2+r^2)/2h。
表面积：多边形外接球球心O的位置可用下述方法之一定出来：点O是通过多面体非平行平面外接圆的圆心并垂直于非平行平面的两条直线的交点；点O是通过多面体非平行棱中点、并垂直于这些棱的三个平面的交点。
圆台外接球的表面积相关结论：
长方体一定有外接球，外接球的球心即其体对角线的交点，半径为体对角线的一半。
正方体既有内切球，也有外接球，球心都是体对角线的交点，内切球的半径为棱长的一半，外接球的半径为体对角线的一半。
正方体外接球的直径=正方体的体对角线长。
圆柱体外接球的直径=圆柱体的体对角线长。