关于正弦定理的证明，正弦定理的证明:从历史到教学这个很多人还不知道，今天小爱来为大家解答以上的问题，现在让我们一起来看看吧！
正弦定理的证明 正弦定理的证明从历史到教学
正弦定理的证明 正弦定理的证明从历史到教学
1、如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.方法1:用三角形外接圆证明： 任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R类似可证其余两个等式。
2、∴a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R方法2: 用直角三角形证明：在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
3、作CH⊥AB垂足为点HCH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到a/sinA=b/sinB同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC ∴a/sinA=b/sinB=c/sinC证明：记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(C-90))+0+c·cos(90-A)=-asinC+csinA=0 ∴a/sinA =c/sinC (b与i垂直,i·b=0)方法4：用三角形面积公式证明：在△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
4、作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB，BE= c sinA,由三角形面积公式得：AB·CD=AC·BE即c·a·sinB= b·c sinA ∴a/sinA=b/sinB 同理可得b/sinB=c/sinC∴a/sinA=b/sinB=c/sinC正弦定理是三角学中的一个定理。
5、它指出了三角形三边、内角以及外接圆半径之间的关系。
6、证明过程及方法见图：正弦定理的扩展公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c;(3)相关结论:a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)(4)设R为三角外接圆半径，公式可扩展为:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。
7、sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA.任意三角形ABC，作ABC的外接圆O。
8、作直径BD∴a·sinB=b·sinA交⊙O于D。
9、因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度。
10、因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。
11、所以c/sinC＝c/sinD=BD(直径)=2R。
12、三角形角的性质：1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
13、3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
14、4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
15、5、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
16、6、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
17、任意三角形ABC，作ABC的外接圆O作直径BD交⊙O于D。
18、因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90度因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C所以c/sinC＝c/sinD=BD(直径)=2R一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
19、已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
20、正弦定理是解三角形的重要工具。
21、在解三角形中，有以下的应用领域：已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。
22、运用a:b:c=sinA:sinB:sinC解决角之间的转换关系。
23、参考资料来源：任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.作直径BD交⊙O于D.连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度所以c/sinC＝c/sinD=BD(直径)=2R我说下方法，sinA/sinB=(a/c)/(b/c)=a/b=>sinA/a=sinB/b.同理得………。
本文到这结束，希望上面文章对大家有所帮助。