二重积分的几何意义 三重积分的几何意义

二重积分几何意义及概念!

类曲线积分,可以看做一个密度函数f,对曲线长度s的积分,所以他表示的是曲线s的质量.

二重积分的定义

二重积分的几何意义 三重积分的几何意义

二重积分的几何意义 三重积分的几何意义

柱体的体积、代数和。当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负值，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方取负。

(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；

(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；

(3)把所有这些乘积相加,即作出和数

(4)记子域的直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:

其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.

关于二重积分的问题

对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。

上述就是二重积分的几何意义。

如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。

(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.

(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:

(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:

≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使

其中σ是区域(σ)的面积.

怎么理解二重积分的几何意义?

z×4/3π=a-√(x＾2+y＾2)表示的是以(0,0,a)为顶点的锥面

二重积分保序性的几何意义

被积函数第二类曲面积分,可以看做一个磁场强度f,对曲面法向的积分,所以他表示的是的磁通量.物理上形象的说,就是通过某个曲面的磁感线条数...表示半径为3的上半球，积分区域为球的大圆，所以积分的几何意义为半径为3的半球的体积，根据球的体积公式可知的结果为：1/2

利用二重积分的几何意义说明

二重积分的几何意义是：是求以区性质1、（积分可加性） 函数和（）(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.的二重积分等于各函数二重积分的和（）。域D为底面,以被积函数为顶部曲面的柱形体的体积.

二重积分，三重积分的几何意义？ 怎么理解这些概念啊？？？求大神帮忙，感激不尽

曲线曲面积分还是按照物理含义理解比较好，几何含义的限制太大了，虽然视觉上直观，但不及物理的广阔。有的时候在三维上是找不到几何含义的，比如被积函数不是1的三重积分就没有几何意义,但四维上思考几何形状就超出了人的几何想象。曲面积分的物理意义简单的说类是光滑曲面型构件的质量，第二类是通过指定侧的流量。

二重积分的积分区域是平面区域D，被积函数f(x,y)表示高度，所以二重积分可理解为以D为底，高为f(x,y)的曲顶柱体的体积，特别的，当f(x,y)=1时，积分就等于D的面积。类似的，三重积分的积分区域是空间区域，被积函数f(x,y,z)可理解为密度，所以三重积分的物理意义就是立体的质量，特别的，当f(x,y,z)=1时，积分就等于立体体积。

设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：

×3^3

=18π

积分过程可用极坐标简化：

二重积分的几何意义是什么？

第二类曲线积分,可以看做一个即：=变力f,对曲线切向的积分,所以他表示的是变力f沿曲线做的功.

二重积分,可以看做一个高函数f(x,y),在底面∑上的积分,所以他表示的是底面为∑的几何体的体积..

三重积分,可以看做一个密度函数f(x,y),在几何体V上的积分,所以他表示的是几何体V的质量..

类曲面积分,可以看做一个密度函数f,对曲面面积S的积分,所以他表示的是曲面S的质量.

利用二重积分的几何意义计算二重积分。 ∫∫（a-Sqrt(x＾2+y＾2)）dσ，D：x＾2+y＾2≤a＾2,a>0

第二类曲线积分,可以看做一个变力f,对曲线切向的积分,所以他表示的是变力f沿曲线做的功.

由性质2、（积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即 (k为常数）。二重积分的几何意义知所求积分是以D为底面，a-√(x＾2+y＾2)为顶的立体的体积

曲面积分的几何意义是什么？

二重积分,可以看做一个高函数f(x,y),在底二重积分的性质面∑上的积分,所以他表示的是底面为∑的几何体的体积..

三重积分,可以看做一个密度函数f(x,y),在几何体V上的积分,所以他表示的是几何体V的质量..

类曲面积分,可以看做一个密度函数f,对曲面面积S的积分,所以他表示1的二重积分即“∫∫dxdy”，该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为1的二重积分的值等于积分区域的面积，即“∫∫dxdy=D”，其中，D为积分区域S的面积。的是曲面S的质量.

如何理解二重积分的几何意义？

该二重积分的计算只需要用到积分的几何意义，被积函数为 1 的二重积分的值等于积分区域的面积，即

其中，D 为积分区域S 的面积。

张图中，二重积分的计算所以原积分=1/3 πa^3：

第二张图中，二重积分的计算与上面形式相同。

积分的线性性质

性质3、设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的值和最小值本题中,被积函数是以原点为中心,半径为a的半球面,其体积为球体的一半,即 2/3πa^3.可见是正确的.，σ为区域D的面积。